Lista 2 - Filtragem de Imagens e Multi resolução

1) No filtro linear da média, qual o efeito de aumentarmos o tamanho da máscara na imagem filtrada? Em termos de complexidade computacional, qual estratégia é interessante quando usamos o filtro da média, em particular para janelas maiores?

Ao aumentarmos o tamanho da máscara, a imagem fica com menos ruídos, porém também fica com mais borramento. A estratégia mais interessante quando usamos filtro da média em janelas maiores é as integrais de imagens, aplicando essa técnica para realizar a soma dos pixels e assim reduzir a complexidade final.

2) Explique brevemente como funciona um filtro bilateral. Qual a principal diferença entre esse filtro e um filtro passa-baixas (como o filtro Gaussiano)? O filtro bilateral é linear?

O filtro bilateral aplica um filtro gaussiano em conjunto com um kernel de pesos que aumenta ou diminui a intensidade do filtro de acordo com a vizinhança. Isso quer dizer que pixels similares aos seus vizinhos serão filtrados por uma mascara maior. Com isso o filtro bilateral possibilita o realce de bordas e a preservação de características mais finas. Essa constitui a principal diferença em relação a um filtro passa-baixas, pois ele é capaz de preservar detalhes de alta frequência. Não é linear pois a saída não é uma combinação linear dos vizinhos, justamente por ser adaptativo.

3) CMP 197 - Mostre que o filtro da mediana não é um operador linear.

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4) A filtragem linear usando máscaras de convolução pode ser realizada diretamente no domínio espacial ou no domínio de frequência. Explique quando uma ou outra opção é mais vantajosa do ponto de vista computacional.

Do ponto de vista computacional, a filtragem no domínio espacial é vantajosa nos casos de múltiplas filtragens utilizando kernels pequenos. A complexidade é impactante no momento em que o kernel cresce e se aproxima do tamanho original da imagem. Com isso, uma convolução com um kernel grande será mais rápida no domínio da frequência devido ao fato de que será uma convolução global.

5) Calcule a convolução linear entre os vetores f e g dados abaixo:

6) [CMP 197] Mostre matematicamente que **f * g = g * f****

7) [CMP 197] Mostre que se Hlp(w) é a transformada de Fourier de um filtro passa-baixas, então Hhp(w) = 1 - Hlp(w) é a transformada de Fourier de um filtro passa-altas.

Se Hlp(w) é um filtro passa-baixa, isso quer dizer que os valores acima do limiar definido serão zerados, mantendo assim apenas os valores menores. Com isso, podemos concluir que um filtro passa-alta é justamente o contrário, isso é, ele mantém todos aqueles valores acima do limiar, podendo ser descrito como 1 - Hlp(w).

8) Queremos aplicar um filtro da média 5x5 para reduzir o ruído em uma imagem, e após um filtro **unsharp mask**** para realçar os detalhes. Se trocarmos a ordem de aplicação desses filtros, a imagem resultante seria afetada? Justifique.

Sim, pois os ruídos atuais da imagem seriam atenuados pelo unsharp, reduzindo assim a eficácia do filtro da média.

9) Descreva um procedimento para achar um mapa de bordas binário em uma imagem monocromática usando máscaras de Sobel. Se a imagem for colorida, o que podemos fazer?

Ao aplicar filtros que realça diferenças entre pixels em uma direção e suaviza na outra direção, conseguimos obter um mapa de bordas, com linhas de pixels em diferentes ângulos. Se a imagem for colorida é possível calcular os mapas de bordas para cada um dos três canais de cor, unindo as matrizes e preservando as maiores magnitudes.

10) O detector de bordas de Canny é bastante popular, e um dos parâmetros é o desvio padrão de um **kernel**** Gaussiano 2D. Qual o efeito desse parâmetro no mapa de bordas resultante?

O kernel Gaussiano 2D tem o efeito de reduzir o número de bordas ao ir aumentando. O filtro suaviza a imagem e remove ruídos, porém acaba removendo também bordas “fracas”.

11) A figura abaixo mostra o resultado da **Discrete Fourier Transform** - DFT (em módulo) de dois sinais unidimensionais com 256 amostras cada. Caracterize cada um deles como contendo predominantemente baixas frequências ou altas frequências, justificando sua resposta.

Ao repetirmos as frequências indefinidamente para entendermos o ciclo, fica claro que a figura da esquerda representa predominantemente frequências baixas, pois o pico de altas frequências ocorre apenas no intervalo 75 - 175, contendo assim apenas 100 das 256 amostras em uma alta frequência. Por outro lado, o sinal da direita possui um vale entre 75 e 175, sendo perpendicularmente oposto ao sinal da esquerda. Com isso podemos afirmar que neste sinal predomina frequências altas, indo do 0 ao 75 e depois do 175 ao 250.

12) [CMP 197] Se f[n, m] representa uma imagem N x M e g[n, m] uma máscara de convolução n x m, mostre que a convolução pode ser expressa na forma matricial h = Gf, onde f é um vetor com MN elementos contendo uma rasterização da imagem f, G é uma matriz de dimensões (N + n -1) (M + m - 1) x MN, e h é um vetor com (N + n - 1)(M + m - 1) elementos que representa uma rasterização da convolução h = f * g.

Fiz no tablet mas é basicamente essa figura aí:

13) Cite algumas semelhanças e diferenças entre a transformada de Fourier e a transformada Wavelet.

Ambas transformadas conseguem aplicar convoluções e filtros passa baixa ou alta para extrair as frequências das imagens de uma forma global. A principal diferença é que a transformada de Fourier não especifica onde estão localizados, no domínio do tempo, os pontos de altas e baixas frequências (SALOMON, 2000).

14) Considere uma imagem monocromática com resolução 2^n x 2^n, onde n é um número inteiro positivo. Até quantos níveis podemos realizar a transformada wavelet? Em termos de consumo de memória, quantos elementos devem ser armazenados na transformada para permitir a reconstrução da imagem original?

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15) Quando fazemos a representação piramidal de imagens de múltiplas resoluções fazendo o **downsampling* pela metade das linhas e colunas a cada nível da pirâmide, é comum suavizarmos a imagem antes do _*downsapling****_. Por que isso é necessário? Qual a relação entre essa estratégia piramidal e a essência da transformada Wavelet?

Isso é necessário pois ao aplicarmos o downsampling o nível de detalhes necessário não é alcançado pelo grau de amostragem, ocorrendo o efeito de aliasing, isso é geração de ruídos e inconsistências na imagem reduzida. Esta estratégia piramidal é um precursor da transformada wavelet, que vai reduzindo a imagem para detectar estruturas em diferentes graus de resolução e detalhes.